最大团问题

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最大团问题（Maximum Clique Problem, MCP）是图论中一个经典的组合优化问题，也是一类NP完全问题。看到前面的描述可能会觉得很复杂，但是最大团的定义其实很简单，通俗点讲最大团问题就是一个最大的完全子图的问题。
因为是NP完全问题，自然没有多项式时间复杂度求解的算法，解决这个问题有很多有效的算法：遗传算法、模拟退火算法、禁忌算法等等，但是这些算法比较高级，这里讲一种比较简单的搜索算法。

算法

概述

总体上来讲，这个算法就是通过DFS进行搜索，通过剪枝来优化的方法。DFS搜索的本质就是维护一个已经是完全图的子图，并在搜索过程中不断扩大这个子图，直到所有的点都被考虑进去。

DFS过程

　　　　初始化：

　　　　　从一个点 u 开始，把这个点加入集合 U 中。将编号比它大的且和它相连的点加入集合 S1 中，为了方便，将集合 S1 中的点有序，让他们从小到大排列，进行第一遍 DFS

　　　第一遍 DFS ：

　　　　　从 S1 中选择一个点 u1，遍历 S1 中，所有编号比 u1 大且和 u1 相连的点，其实也就是排在 u1 后面，并且和 u1 相连的点，将它们加入集合 S2 中。同理，让 S2 中的点也按照编号也从小到大排列。将 u1 加入集合 U 中，进行第二遍 DFS

　　　第二遍 DFS ：

　　　　　从 S2 中选择一个点 u2，遍历 S2 中，所有排在 u2 后面且和 u2 相连的点，并把它们加入集合 S3 中，让 S3 中的点按照编号从小到大排列，将 u2 加入集合 U 中进行第三遍 DFS

　　　第三遍 DFS ：

　　　　　从 S3 中选择一个点 u3，遍历 S3 中，所有排在 u3 后面且和 u3 相连的点，并把它们加入集合 S4 中，让 S4 中的点按照编号从小到大排列，将 u3 加入集合 U 中进行第四遍 DFS

　　　……

　　　最底层的 DFS ：

　　　　　当某个 S 集合为空时，DFS 过程结束，得到一个只用后面几个点构成的完全子图，并用它去更新只用后面几个点构成的最大团。退出当前 DFS，返回上层 DFS，接着找下一个完全子图，直到找完所有的完全子图

辅助集合

为每一层的DFS遍历开一个集合Sn，用来表示在这一层DFS中，考虑加入完全图中的点。从这个集合Sn中取一个点准备加入完全图，同时将和这个点相连的Sn中的其他点加入下一层DFS的辅助集合S(n+1)中去。

剪枝1

已经在完全图U中的点的数量 + 辅助集合Sn中的点的数量 < 已经产生的最优解，则不再进行后面的DFS

剪枝2

已经在完全图U中的点的数量 + 后面集合能够构成的最大完全子图的顶点数量 < 已经产生的最优解，则不再进行后面的DFS。

模板

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bool G[maxn][maxn];
int Max[maxn],Alt[maxn][maxn],ans,n;

bool dfs(int cur,int tot)     //cur 当前层次集合大小  tot 所在的层次
{
	if(cur==0)
	{
		if(tot>ans)
		{
			ans=tot;
			return 1;
		}
		return 0;
	}
	for(int i=0;i<cur;i++)
	{
		if(cur-i+tot<=ans) return 0;    //剪枝1
		int u=Alt[tot][i];    //选取当前考虑的点
		if(Max[u]+tot<=ans) return 0;
		int next=0;
		for(int j=i+1;j<cur;j++)
		{
			if(G[u][Alt[tot][j]])  Alt[tot+1][next++]=Alt[tot][j];
		}
		if(dfs(next,tot+1)) return 1;
	}
	return 0;
}

void  MaxClique()
{
	ans=0;
	memset(Max,0,sizeof(Max));
	for(int i=n-1;i>=0;i--)    //逆向构建Max
	{
		int cur=0;
		for(int j=i+1;j<n;j++) 
			if(G[i][j]) Alt[1][cur++]=j;
		dfs(cur,1);
		Max[i]=ans;
	}
}

ZOJ 1492

题意

裸的最大团模板题

代码

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nclude <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;

const int maxn=55;

bool G[maxn][maxn];
int Max[maxn],Alt[maxn][maxn],ans,n;

bool dfs(int cur,int tot)     //cur 当前层次集合大小  tot 所在的层次
{
	if(cur==0)
	{
		if(tot>ans)
		{
			ans=tot;
			return 1;
		}
		return 0;
	}
	for(int i=0;i<cur;i++)
	{
		if(cur-i+tot<=ans) return 0;    //剪枝1
		int u=Alt[tot][i];    //选取当前考虑的点
		if(Max[u]+tot<=ans) return 0;
		int next=0;
		for(int j=i+1;j<cur;j++)
		{
			if(G[u][Alt[tot][j]])  Alt[tot+1][next++]=Alt[tot][j];
		}
		if(dfs(next,tot+1)) return 1;
	}
	return 0;
}

void  MaxClique()
{
	ans=0;
	memset(Max,0,sizeof(Max));
	for(int i=n-1;i>=0;i--)    //逆向构建Max
	{
		int cur=0;
		for(int j=i+1;j<n;j++) 
			if(G[i][j]) Alt[1][cur++]=j;
		dfs(cur,1);
		Max[i]=ans;
	}
}

void solve()
{
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		if(n==0)break;
		for(int i=0;i<n;i++)
			for(int j=0;j<n;j++)
            {
                int a;
                scanf("%d",&a);
                if(a==1)G[i][j]=1;
                else G[i][j]=0;
            }
		MaxClique();
		printf("%d\n",ans);
	}
}

int main()
{
    freopen("input.txt","r",stdin);
    solve();
    return 0;
}