POJ 2429 GCD & LCM Inverse 大素数分解

题目链接:http://poj.org/problem?id=2429

题意

给出两个数的最大公因数和最小公倍数(数据范围2^64),求这两个数(存在多组数时输出和最小的一组数)

题解

我们很容易得到以下方程: (a/gcd)*(b/gcd)=(lcm/gcd)。因为(a/gcd)和(b/gcd)一定是互质的(如果不互质,gcd就要改变),这样我们就可以看成是将(lcm/gcd)分解成互质的两个数。
使用Pollard-Rho算法算出大整数的素因子表,为了保证分解成的两个数是互质的,将素质因子表中相同的数进行相乘,可以证明这样得到的数组内的元素之间还是互质的。
最后只需要对表中的元素分成两组就行了,用一个简单的DFS就可以搞定。

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#include <iostream>
#include<time.h>
#include<stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <queue>
#include <utility>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
typedef long long ll;
//Miller_Rabin 算法进行素数测试
//速度快,而且可以判断 <2^63的数
const int S=20; //随机算法判定次数
//计算 (a*b)%c 加法快速幂
ll mul_mod(ll a,ll b,ll c)
{
a%=c;
b%=c;
ll ret=0;
while(b)
{
if(b&1)
ret+=a,ret%=c;
a<<=1;
if(a>=c)a%=c;
b>>=1;
}
return ret;
}
// 计算x^n %c
ll pow_mod(ll x,ll n,ll mod)
{
if(n==1) return x%mod;
x%=mod;
ll tmp=x;
ll ret=1;
while(n)
{
if(n&1) ret=mul_mod(ret,tmp,mod);
tmp=mul_mod(tmp,tmp,mod);
n>>=1;
}
return ret;
}
//以a为基,n-1=x*2^t a^(n-1)=1(mod n) 验证n是不是合数
//一定是合数返回true,不一定返回false
bool check(ll a,ll n,ll x,ll t)
{
ll ret=pow_mod(a,x,n);
ll last=ret;
for(int i=1;i<=t;i++)
{
ret=mul_mod(ret,ret,n);
if(ret==1 && last!=1 && last!=n-1) return true;
last=ret;
}
if(ret!=1) return true;
return false;
}
// Miller_Rabin()算法素数判定
//是素数返回true.(可能是伪素数,但概率极小)
//合数返回false;
bool Miller_Rabin(ll n)
{
if(n<2) return false;
if(n==2) return true;
if((n&1)==0) return false; //偶数
ll x=n-1,t=0;
while(!(x&1))
{
x>>=1;
t++;
}
for(int i=0;i<S;i++)
{
ll a=rand()%(n-1)+1;
if(check(a,n,x,t))
return false;
}
return true;
}
// pollard_rho 算法进行质因数分解
ll factor[10000]; //分解结果
int tol; //分解个数
ll gcd(ll a,ll b)
{
if(a==0) return 1;
if(a<0) return gcd(-a,b);
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
ll Pollard_rho(ll x,ll c)
{
ll i=1,k=2;
ll x0=rand()%x;
ll y=x0;
while(1)
{
i++;
x0=(mul_mod(x0,x0,x)+c)%x;
ll d=gcd(y-x0,x);
if(d!=1&&d!=x) return d;
if(y==x0) return x;
if(i==k){y=x0;k+=k;}
}
}
//对n进行素因子分解
void findfac(ll n)
{
if(Miller_Rabin(n))
{
factor[tol++]=n;
return;
}
ll p=n;
while(p>=n)p=Pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1);
findfac(p);
findfac(n/p);
}
//DFS 求数
ll min_sum; //和的最小值设置为全局变量
ll ansa,ansb;
ll factor_new[10000],num1; //将重复素因子相乘以后的表
void dfs(ll tmpa,ll tmpb,ll pos,const ll len)
{
if(pos==len)
{
if(tmpa+tmpb<=min_sum)
ansa=tmpa,ansb=tmpb;
return;
}
else
{
dfs(tmpa*factor_new[pos],tmpb,pos+1,len);
dfs(tmpa,tmpb*factor_new[pos],pos+1,len);
}
}
void solve()
{
ll a,b;
while(scanf("%lld %lld",&a,&b)!=EOF)
{
num1=0;
b/=a;
findfac(b);
sort(factor,factor+tol);
factor_new[0]=factor[0];
for(int i=1;i<tol;i++) //除去重复素因子
{
if(factor[i]==factor[i-1])
factor_new[num1]*=factor[i];
else
factor_new[++num1]=factor[i];
}
min_sum=factor_new[0]+b/factor_new[0];
dfs(1,1,0,num1+1); //dfs 枚举结果
if(ansa>ansb) swap(ansa,ansb);
printf("%lld %lld\n",ansa*a,ansb*a);
}
}
int main()
{
freopen("input.txt","r",stdin);
//test();
solve();
return 0;
}